Question

3．如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，延長(zhǎng)PB交直徑AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）求證：BE∥OP；
（2）若tan∠OPD=$\frac{1}{2}$，求tan∠D的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)和直徑所對(duì)的圓周角等于90°，可以求得∠COA=∠BEA，從而可以證明結(jié)論成立；
（2）根據(jù)tan∠OPD=$\frac{1}{2}$，然后利用銳角三角函數(shù)和勾股定理、三角形相似可以求得tan∠D的值．

解答 （1）證明：連接AB，交PO于點(diǎn)C，如右圖所示，
∵PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，B，延長(zhǎng)PB交直徑AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，
∴PC⊥AB，BE⊥AB，
∴∠ACO=∠ABE=90°，
∴∠CAO+∠AOC=90°，∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠COA=∠BEA，
∴BE∥OP；
（2）連接BO，如右上圖所示，
設(shè)BC=a，
∵tan∠OPD=$\frac{1}{2}$，
∴PC=2a，
∴PB=$\sqrt{5}a$，
∵∠OPD=∠CBO，BC=a，tan∠OPD=$\frac{1}{2}$，
∴BO=$\frac{\sqrt{5}a}{2}$，
∴PO=$\frac{5a}{2}$，
∵AB⊥BE，AB=2a，AE=2BO=$\sqrt{5}a$，
∴BE=a，
∵BE∥PO，
設(shè)DB=x，
∴$\frac{DB}{DP}=\frac{BE}{PO}$，
即$\frac{x}{x+\sqrt{5}a}=\frac{a}{\frac{5a}{2}}$，
解得，x=$\frac{2\sqrt{5}a}{3}$，
∴tan∠D=$\frac{BO}{BD}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}a}{2}}{\frac{2\sqrt{5}a}{3}}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用銳角三角函數(shù)、三角形相似的知識(shí)解答．