Question

3．如圖，已知AD∥BC，AB⊥AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線AD，BC上．已知點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱．
（1）求∠DEF-∠AEB的值；
（2）tan∠ADB的值；
（3）關(guān)于點(diǎn)G與△BEF，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AB=AE，然后求出∠ABE=∠AEB=45°，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得EB=BF，BD平分∠EBF，然后求出∠FBE=45°，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等求出∠BEF=∠BFE=67.5°，再求出∠DEF=67.5°，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解；
（2）求出EB=ED，設(shè)AB=x，表示出AE、DE，然后求出AD，再根據(jù)銳角的正切等于對(duì)邊比鄰邊列式計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)三角形的外心的定義解答．

解答 解：（1）∵點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱，
∴AB=AE，
∵AB⊥AD，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱，
∴EB=BF，BD平分∠EBF，
∵AD∥BC，AB⊥AD，
∴AB⊥BF，
∴∠FBE=45°，
∴∠BEF=∠BFE=67.5°，
∴∠DEF=67.5°，
∴∠DEF-∠AEB=22.5°；

（2）由（1）得∠EDB=22.5°，
∴EB=ED，
設(shè)AB=x，則AE=x，BE=DE=$\sqrt{2}$x，
∴AD=AE+DE=x+$\sqrt{2}$x，
∴tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{x}{\sqrt{2}x+x}$=$\sqrt{2}$-1；

（3）∵BD，AC分別是EF，BE的垂直平分線，
∴G是△BEF外接圓的圓心．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖，用AB表示出AD是解題的關(guān)鍵．