Question

9．如圖，直線a，b相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是平面上的一點(diǎn)，以O(shè)P為直徑的⊙M交直線a、b分別為A、B．
（1）求證：∠AOP與∠ABO互余；
（2）若OA=5，AB=6，∠ABO=30°，求點(diǎn)M到弦AB的距離．

Answer 1

分析 （1）連接AP，根據(jù)圓周角定理得到∠OAP=90°，根據(jù)圓周角定理證明即可；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到OP=2OA=10，求出半徑，根據(jù)勾股定理計算即可．

解答 （1）證明：連接AP，
∵OP為⊙M的直徑，
∴∠OAP=90°，
∴∠AOP+∠P=90°，
∵∠P=∠ABO，
∴∠AOP+∠ABO=90°，
即∠AOP與∠ABO互余；
（2）連接MA，作MN⊥AB于N，
∠P=∠ABO=30°，
∴OP=2OA=10，
∴MA=5，
∵M(jìn)N⊥AB，
∴AN=$\frac{1}{2}$AB=3，
由勾股定理得，MN=$\sqrt{M{A}^{2}-A{N}^{2}}$=4．

點(diǎn)評 本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，掌握直徑所對的圓周角是直角、同弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．