Question

19．如圖所示，點E、F分別是正△ABC的邊AC、AB上的點，AE=BF，BE，CF相交于點P，CQ⊥BE于Q，若PF=1，PQ=3，則BE=7．

Answer 1

分析 如圖，證明△ABE≌△BCF，得到BE=CF；證明∠QPC=60°，此為解題的關鍵性結(jié)論；證明PC=2PQ=6，即可解決問題．

解答 解：如圖，∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，∠A=∠FBC=60°；
在△ABE與△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠A=∠FBC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴BE=CF；∠FBP=∠BCP，
∴∠QPC=∠PBC+∠BCP
=∠PBC+∠FBP=∠FBC=60°；
∵CQ⊥PQ，
∴∠PCQ=30°，PC=2PQ=6，
∴BE=CF=6+1=7，
故答案為7．

點評 該題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)的應用等幾何知識點問題；解題的關鍵是數(shù)形結(jié)合，準確找出圖形中隱含的相等或全等關系．