Question

7．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E為BC邊上一點，且BE=2，F(xiàn)為AB上一點，F(xiàn)G⊥AE分別交AE、CD于點P、G，以PC為直徑的圓交線段FG于點Q，若PF=QG，則BF=$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 連接AC交FG于O，連接PC、CQ，延長AE交PC為直徑的圓于H，連接CH．首先證明OA=OC，由△AEB∽△CEH，可得$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AB}{CH}$=$\frac{BE}{EH}$，推出CH=$\frac{16\sqrt{17}}{17}$，EH=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，AH=$\frac{38\sqrt{17}}{17}$，由OA=OC，OP∥CH，推出AP=PH=$\frac{19\sqrt{17}}{17}$，由△APF∽△ABE，可得$\frac{AF}{AE}$=$\frac{AP}{AB}$，推出AF=$\frac{19}{4}$，延長即可解決問題．

解答 解：連接AC交FG于O，連接PC、CQ，延長AE交PC為直徑的圓于H，連接CH．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AFP=∠CGQ，
∵PC是直徑，
∴∠CQP=∠H=90°，
∴CQ⊥FG，
∵AE⊥FG，
∴∠APF=∠CQG=90°，
在△APF和△CQG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFP=∠CGQ}\\{FP=GQ}\\{∠APF=∠CQG}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△CQG，
∴AP=CQ，
在△AOP和△COQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOP=∠COQ}\\{∠AOP=∠CQO}\\{AP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△COQ，
∴OA=OC，
在Rt△ABE中，∵AB=8，BE=2，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∵△AEB∽△CEH，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AB}{CH}$=$\frac{BE}{EH}$，
∴CH=$\frac{16\sqrt{17}}{17}$，EH=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
∴AH=$\frac{38\sqrt{17}}{17}$，
∵OA=OC，OP∥CH，
∴AP=PH=$\frac{19\sqrt{17}}{17}$，
∵△APF∽△ABE，
∴$\frac{AF}{AE}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴AF=$\frac{19}{4}$，
∴BF=AB-AF=8-$\frac{19}{4}$=$\frac{13}{4}$，
故答案為$\frac{13}{4}$

點評 本題考查矩形的性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判定和性質(zhì)新三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．