Question

13．如圖，已知△ABC中，AC=2，BC=4，以AB為邊向形外作正方形ABMN，若∠ACB的度數(shù)發(fā)生變化，連接CN，則CN的最大值是（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 6$\sqrt{2}$
• C． 4+2$\sqrt{2}$
• D． 2+4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把△ACB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△ACN，如圖，則利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CAC′=90°，AC′=AC=2，NC′=BC=4，于是可判斷△ACC′為等腰直角三角形，所以CC′=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{2}$，根據(jù)三角形三邊的關系得NC′+CC′≥NC（當且僅當點C′在NC上時，取等號），從而得到CN的最大值是4+2$\sqrt{2}$．

解答 解：∵四邊形ABMN為正方形，
∴AB=AN，∠BAN=90°，
∴將△ACB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACN，如圖，
∴∠CAC′=90°，AC′=AC=2，NC′=BC=4，
∴△ACC′為等腰直角三角形，
∴CC′=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{2}$，
∵NC′+CC′≥NC（當且僅當點C′在NC上時，取等號），
∴點C′在NC上時，NC最大，
此時NC=4+2$\sqrt{2}$，
即CN的最大值是4+2$\sqrt{2}$．
故選C．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角．解決本題的關鍵通過旋轉(zhuǎn)把零散的條件集中到一個三角形中．