Question

19．如圖，四邊形ABCD是矩形紙片，AB=2，對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF，展開后再過點(diǎn)B折疊矩形紙片，使按A落在EF上的點(diǎn)N，折痕BM與EF相交于點(diǎn)Q，再次展平，連接BN，MN，延長(zhǎng)MN交BC于點(diǎn)G．
（1）連接AN，求證：△ABN是等邊三角形；
（2）求AM、QN的長(zhǎng)；
（3）P為線段BM上一動(dòng)點(diǎn)，H是BN的中點(diǎn)，則PN+PH的最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)EF垂直平分AB，可得AN=BN；然后根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得AB=BN，據(jù)此判斷出△ABN為等邊三角形．
（2）首先根據(jù)∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，求出∠ABM=∠NBM=30°；然后在Rt△ABM中，根據(jù)AB=2，求出AM的大小即可；首先根據(jù)EF∥BC，QN是△MBG的中位線，可得QN=$\frac{1}{2}$BG；然后根據(jù)BG=BM=AB÷cos∠ABM=2÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，求出QN的長(zhǎng)度即可．
（3）根據(jù)∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，推得∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，即可推得△BMG是等邊三角形；點(diǎn)N是MG的中點(diǎn)，判斷出BN⊥MG，即可求出BN的大小；然后根據(jù)E點(diǎn)和H點(diǎn)關(guān)于BM稱可得PH=PE，因此P與Q重合時(shí)，PN+PH=PN+PE=EN，據(jù)此求出PN+PH的最小值是多少即可．

解答 （1）證明：如圖，連接AN，
∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得
AB=BN，
∴AN=AB=BN．
∴△ABN為等邊三角形．

（2）∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，
∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°，
∴AM=AB•tan30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵EF∥BC，QN是△MBG的中位線，
∴QN=$\frac{1}{2}$BG；
∵BG=BM=AB÷cos∠ABM=2÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴QN=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（3）∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，
∴∠BMG=∠BNM-∠MBN=90°-30°=60°，
∴∠MBG=∠ABG-∠ABM=90°-30°=60°，
∴∠BGM=180°-60°-60°=60°，
∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，
∴△BMG為等邊三角形，
∵點(diǎn)N是MG的中點(diǎn)，
∴BN⊥MG，
∴BN=BG•sin60°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2，
根據(jù)條件易知E點(diǎn)和H點(diǎn)關(guān)于BM對(duì)稱，∴PH=PE，
∴P與Q重合時(shí)，PN+PH的值最小，此時(shí)PN+PH=PN+PE=EN，
∵EN=$\sqrt{B{N}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴PN+PH=$\sqrt{3}$，
∴PN+PH的最小值是$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，要熟練掌握．
（2）此題還考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及矩形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．
（3）此題還考查了折疊的性質(zhì)和應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，要熟練掌握．