Question

10．直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，一個(gè)圓與這個(gè)直角三角形的斜邊相切，與兩條直角邊所在的直線相切，則這個(gè)圓的半徑為$\frac{a+b-c}{2}$或$\frac{a+b+c}{2}$．

Answer 1

分析 分兩種情形分別求解即可．當(dāng)⊙O在△ABC內(nèi)部時(shí)，設(shè)切點(diǎn)分別為E、F、D．由切線長定理可知，AE=AD，CF=CD，BE=BF，易知四邊形BFOE是正方形，可得OE=BE=$\frac{AB+BC-AC}{2}$=$\frac{a+b-c}{2}$．當(dāng)⊙O在△ABC外部時(shí)，同法可求．

解答 解：當(dāng)⊙O在△ABC內(nèi)部時(shí)，設(shè)切點(diǎn)分別為E、F、D．

由切線長定理可知，AE=AD，CF=CD，BE=BF，
易知四邊形BFOE是正方形，
∴OE=BE=$\frac{AB+BC-AC}{2}$=$\frac{a+b-c}{2}$．
當(dāng)⊙O在△ABC外部時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為E、D、F．則四邊形OEBF是正方形．

由切線長定理可知OE=BE=$\frac{AB+BC+AC}{2}$=$\frac{a+b+c}{2}$，
故答案為$\frac{a+b-c}{2}$或$\frac{a+b+c}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、切線長定理．正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．