Question

15．如圖，在平行四邊形ABCD中．AC、BD相交于點(diǎn)O．已知AB=AC．∠ABC=60°
（1）求證：?ABCD是菱形；
（2）若BD=4$\sqrt{3}$，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先判定△ABC是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得AB=BC，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明；
（2）根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得AC⊥BD，OB=OD，再根據(jù)三角函數(shù)求出BCAB，即可得出四邊形的周長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，
∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{3}$，∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴cos∠ABO=$\frac{OB}{AB}$，
∴AB=$\frac{OB}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=4×4=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)；判定出△ABC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．