Question

3．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為x=-1，且拋物線經(jīng)過(guò) A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸x=-1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸x=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)拋物線的對(duì)稱軸公式可得到$-\frac{2a}$=-1，然后在將點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得到關(guān)于a、b、c的方程組，然后解得a、b、c的值即可；
（2）由軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)M在CB上時(shí)，AM+MC的值最小，然后求得BC的解析式，再把x=-1代入直線BC的解析式求得對(duì)應(yīng)的y值即可；
（3）設(shè)P（-1，t），依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到CB²=18，PB²=t²+4，PC²=t²-6t+10，然后分為BC²+PB²=PC²、BC²+PC²=PB²、PC²+PB²=BC²三種情況列方程求解即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=-1}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3．

（2）設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=-1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)AM+MC的值最�。�
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=-1對(duì)稱，A（1，0），
∴C（-3，0）．
設(shè)BC的解析式為y=mx+n，將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{-3m+n=0}\end{array}\right.$，解得：m=1，n=3．
∴直線BC的解析式為y=x+3．
將x=-1代入y=x+3得：y=2，
∴M（-1，2）．
∴當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，2）時(shí)，點(diǎn)M到點(diǎn)A和點(diǎn)C的距離之和最�。�

（3）設(shè)P（-1，t）．
∵P（-1，t），B（-3，0），C（0，3），
∴CB²=18，PB²=（-1+3）²+t²=t²+4，PC²=（-1）²+（t-3）²=t²-6t+10．
①當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，則BC²+PB²=PC²，即18+t²+4=t²-6t+10，解得t=-2，
∴P（-1，-2）．
②當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，BC²+PC²=PB²，即18+t²-6t+10=t²+4，解得t=4，
∴P（-1，4）．
③當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，PC²+PB²=BC²，即t²+4+t²-6t+10=18，解得：t=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$或t=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，
∴P（-1，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）或（-1，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（-1，-2）或（-1，4）或（-1，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）或（-1，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系式，軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，依據(jù)勾股定理的逆定理列出關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．