Question

1．如圖，?ABCD中，點E、F在直線AC上，BE∥DF．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若AB⊥AC，AB=4，BC=$2\sqrt{13}$，請你探索四邊形BFDE可能是哪種特殊的平行四邊形，并給出此時線段AE的長．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形的判定定理AAS證得結(jié)論；
（2）四邊形BFDE可能是矩形，連接BD，BD與AC相交于點O，利用勾股定理的逆定理和矩形的判定定理進(jìn)行解答．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠BAE=∠DCF，
又∵∠DF∥BE，
∴∠BEF=∠DFE，
∴∠AEB=∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CFD}\\{∠BAE=∠DCF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；

（2）解：四邊形BFDE可能是矩形，理由如下：
連接BD，BD與AC相交于點O，如圖，
∵AB⊥AC，AB=4，BC=2$\sqrt{13}$，
∴AC=6，
∴AO=3．
∴Rt△BAO中，BO=5，
∵四邊形BEDF是矩形，
∴OE=OB=5，
∴點E在OA的延長線上，且AE=2．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．