Question

14．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是斜邊BC上的中線，將三角尺的直角頂點置于中線AD上點P處，三角尺的兩條直角邊分別交AB、AC邊于點E、F．求證：PE=PF．

Answer 1

分析 過點P作PK∥BC交AB于點K，可證明△AFP≌△KEP，可得PE=PF．

解答 證明：
過點P作PK∥BC交AB于點K，如圖，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是斜邊BC上的中線，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠EKP=∠B=∠BAP=∠PAF=45°，
∴AP=PK，
∵∠EPF=∠KPA=90°，
∴∠EPK+∠EPA=∠EPA+∠FPA，
∴∠EPK=∠FPA，
在△AFP和△KEP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAP=∠EKP}\\{AP=KP}\\{∠FPA=∠EPK}\end{array}\right.$
∴△AFP≌△KEP（ASA），
∴PE=PF．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質，由條件構造三角形全等是解題的關鍵．