Question

9．如圖，在邊長為$\sqrt{3}$的正方形ABCD中，動點F，E分別以相同的速度從D，C兩點同時出發(fā)向C和B運動（任何一個點到達(dá)即停止），在運動過程中，則線段CP的最小值為$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 首先判斷出△ABE≌△BCF，即可判斷出∠BAE=∠CBF，再根據(jù)∠BAE+∠BEA=90°，可得∠CBF+∠BEA=90°，所以∠APB=90°；然后根據(jù)點P在運動中保持∠APB=90°，可得點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，設(shè)AB的中點為G，連接CG交弧于點P，此時CP的長度最小，最后在Rt△BCG中，根據(jù)勾股定理，求出CG的長度，再求出PG的長度，即可求出線段CP的最小值為多少．

解答 解：如圖，，
∵動點F，E的速度相同，
∴DF=CE，
又∵CD=BC，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC=\sqrt{3}}\\{∠ABE=BCF=90°}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠APB=90°，
∵點P在運動中保持∠APB=90°，
∴點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，
設(shè)AB的中點為G，連接CG交弧于點P，此時CP的長度最小，
在Rt△BCG中，CG=$\sqrt{{BC}^{2}{+BG}^{2}}=\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}{+（\frac{\sqrt{3}}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∵PG=$\frac{1}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴CP=CG-PG=$\frac{\sqrt{15}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$，
即線段CP的最小值為 $\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$．

點評 （1）解答此題的關(guān)鍵是判斷出什么情況下，CP的長度最�。�
（2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．
（3）此題還考查了正方形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握．