Question

6．如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-3），反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，一次函數(shù)y₂=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）直接寫出y₂＞y₁時(shí)x的取值范圍；
（3）若點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，-3），再將C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$中，運(yùn)用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式；同理，將點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入y=ax+b中，運(yùn)用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)函數(shù)的解析式；
（2）求得反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象即可求得；
（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），先由△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，再將x的值代入y=-$\frac{15}{x}$，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-3），
∴AB=5，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，-3）
∵反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴-3=$\frac{k}{5}$，解得k=-15，
∴反比例函數(shù)的解析式為y₁=-$\frac{15}{x}$；
∵一次函數(shù)y₂=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{5a+b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y₂=-x+2；

（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{15}{x}}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，-3），（-3，5），
由圖象知：當(dāng)x＜-3或0＜x＜5時(shí)，y₂＞y₁；

（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
∵△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，
∴$\frac{1}{2}$×OA•|x|=5²，
∴$\frac{1}{2}$×2|x|=25，解得x=±25．
當(dāng)x=25時(shí)，y=-$\frac{15}{25}$=-$\frac{3}{5}$，
當(dāng)x=-25時(shí)．y=$\frac{15}{25}$=$\frac{3}{5}$，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（25，-$\frac{3}{5}$）或（-25，$\frac{3}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，難度適中．運(yùn)用方程思想是解題的關(guān)鍵．