Question

6．如圖，正方形ABCD中，AB=8$\sqrt{5}$，E是AD邊上一點，F(xiàn)是AB延長線上一點，且DE=BF，連接EF，G是EF的中點，延長CG交AB于點H，H恰好是AB的中點，連接DG，則DG的長是多少？

Answer 1

分析 如圖，連接EC，設(shè)EF交BC于O，作GM⊥AD于M，交BC于N，作GK⊥CD于K，交AB于L．首先證明△ECF是等腰直角三角形，四邊形MDKG，四邊形BNGL都是正方形，
再證明△GLH≌△GNO，推出GH=GO，由△GOC∽△BHC，可得$\frac{GC}{OG}$=$\frac{BC}{BH}$由BH=HA，推出$\frac{GC}{OG}$=$\frac{BC}{BH}$=2，由GN∥BH，推出$\frac{CG}{GH}$=$\frac{CN}{BN}$=2，推出GK=DK=CN=$\frac{2}{3}$BC=$\frac{16\sqrt{5}}{3}$，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)：DG=$\sqrt{2}$GK，即可解決問題．

解答 解：如圖，連接EC，設(shè)EF交BC于O，作GM⊥AD于M，交BC于N，作GK⊥CD于K，交AB于L．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=∠BCD=∠A=90°，
∵DE=BF，
∴△CDE≌△CBF，
∴CE=CF，∠ECD=∠BCF，
∴∠ECF=∠DCB=90°，
∵EG=GF，
∴CG=GE=GF，CG⊥EF，
易知四邊形AMGL，四邊形MGKD，四邊形GKCN，四邊形BNGL是矩形，
∴∠MGK=∠EGC=90°，
∴∠MGE=∠KGC，∵∠GME=∠GKC=90°，
∴△GME≌△GKC，
∴GM=GK，
∴四邊形MDKG是正方形，
∵KL=MN，
∴GL=GN，
∴四邊形BNGL是正方形，
∵∠HGO=∠LGN=90°，
∴∠LGH=∠OGN，∵∠GLH=∠GNO=90°，
∴△GLH≌△GNO，
∴GH=GO，
∵△GOC∽△BHC，
∴$\frac{GC}{OG}$=$\frac{BC}{BH}$，∵BH=HA，
∴$\frac{GC}{OG}$=$\frac{BC}{BH}$=2，
∵GN∥BH，
∴$\frac{CG}{GH}$=$\frac{CN}{BN}$=2，
∴GK=DK=CN=$\frac{2}{3}$BC=$\frac{16\sqrt{5}}{3}$，
∴DG=$\sqrt{2}$GK=$\frac{16\sqrt{10}}{3}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，