Question

17．如圖，△ABC為等腰三角形，AC=BC，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F．
（1）判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若BC=9，EF=1，求DF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證明OD∥AC，即可證得∠ODF=∠AFD=90°，從而證得OD是圓的切線；
（2）過(guò)O作OG⊥EC交EC于點(diǎn)G，證得四邊形OGFD是矩形，在Rt△OCG中利用勾股定理求得OG，則DF即可求得．

解答 解：（1）DF與⊙O相切．
連接OD．
∵AC=BC，OB=OD，
∴∠B=∠A，∠B=∠1．
∴∠A=∠1．
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°．
∴∠ODF=∠AFD=90°．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴DF與⊙O相切．
（2）過(guò)O作OG⊥EC交EC于點(diǎn)G．
∵∠ODF=∠AFD=90°，
∴四邊形OGFD是矩形．
∴DF=OG，F(xiàn)G=OD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{9}{2}$．
∵OG⊥EC，
∴CG=EG=FG-EF=$\frac{9}{2}$-1=$\frac{7}{2}$．
∴DF=OG=$\sqrt{O{G}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{7}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與矩形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是關(guān)鍵．