Question

17．如圖，直線y=x+m（m＞0）與x軸交于點A（-2，0），與y軸交于點E，直線y=-x+n（n＞0）與x軸、y軸分別交于B、C兩點，并與直線y=x+m（m＞0）相交于點D，若AB=3，
（1）求m、n的值和△ACD的面積；
（2）在x軸上存在點p，使△AEP為等腰三角形，直接寫出P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標軸上點的坐標特征，把A（-2，0）代入y=x+可求得m=2；再由AB=3可得B（1，0），接著把B（1，0）代入y=-x+n可求得n=1，然后確定C（0，1），通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$得D（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
最后根據(jù)三角形面積公式，利用S_△ACD=S_△ADB-S_△ACB進行計算；
（2）先確定E（0，2），再計算出AE=2$\sqrt{2}$，然后分類討論：當AP=AE=2$\sqrt{2}$時，易得P（-2-2$\sqrt{2}$，0）或（-2+2$\sqrt{2}$，0），當EP=EA時，易得P（2，0），當PA=PE時，易得P（0，0）．

解答 解：（1）把A（-2，0）代入y=x+m得-2+m=0，解得m=2；
∵AB=3，
∴B（1，0），
把B（1，0）代入y=-x+n得-1+n=0，解得n=1；
當x=0時，y=-x+1=1，則C（0，1）；
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，則D（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴S_△ACD=S_△ADB-S_△ACB
=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×3×1
=$\frac{3}{4}$；
（2）當x=0時，y=x+2=2，則E（0，2），
∴AE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
當AP=AE=2$\sqrt{2}$時，則P（-2-2$\sqrt{2}$，0）或（-2+2$\sqrt{2}$，0），
當EP=EA時，則P（2，0），
當PA=PE時，設(shè)P（t，0），則（t+2）²=t²+2²，解得t=0，此時P（0，0），
綜上所述，P點坐標為（-2-2$\sqrt{2}$，0）或（-2+2$\sqrt{2}$，0）或（2，0）或（0，0）．

點評 本題考查了兩直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．也考查了等腰三角形的判定和分類討論思想的運用．