Question

7．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在平面上的F點處，DF交BC于點E．
（1）求證：△DCE≌△BFE；
（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，知∠ADB=∠DBC，根據(jù)折疊的性質(zhì)∠ADB=∠BDF，所以∠DBC=∠BDF，得BE=DE，即可用AAS證△DCE≌△BFE；
（2）在Rt△BCD中，CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，知BC=2$\sqrt{3}$，在Rt△BCD中，CD=2，∠EDC=30°，知CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以BE=BC-EC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
根據(jù)折疊的性質(zhì)∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=∠C=90°，
∴∠DBC=∠BDF，
∴BE=DE，
在△DCE和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠DEC}\\{∠F=∠C}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△BFE；

（2）在Rt△BCD中，
∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ECD中，
∵CD=2，∠EDC=30°，
∴DE=2EC，
∴（2EC）²-EC²=CD²，
∴CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BE=BC-EC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等角對等邊、平行線的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用，熟練的運用折疊的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．