Question

18．如圖，已知二次函數(shù)L₁：y=ax²-2ax+a+3（a＞0）和二次函數(shù)L₂：y=-a（x+1）²+1（a＞0）圖象的頂點分別為M，N，與y軸分別交于點E，F(xiàn)．
（1）函數(shù)y=ax²-2ax+a+3（a＞0）的最小值為3，當(dāng)二次函數(shù)L₁，L₂的y值同時隨著x的增大而減小時，x的取值范圍是-1≤x≤1．
（2）當(dāng)EF=MN時，求a的值，并判斷四邊形ENFM的形狀（直接寫出，不必證明）．
（3）若二次函數(shù)L₂的圖象與x軸的右交點為A（m，0），當(dāng)△AMN為等腰三角形時，求方程-a（x+1）²+1=0的解．

Answer 1

分析 （1）把二次函數(shù)L₁：y=ax²-2ax+a+3化成頂點式，即可求得最小值，分別求得二次函數(shù)L₁，L₂的y值隨著x的增大而減小的x的取值，從而求得二次函數(shù)L₁，L₂的y值同時隨著x的增大而減小時，x的取值范圍；
（2）先求得E、F點的坐標(biāo)，作MG⊥y軸于G，則MG=1，作NH⊥y軸于H，則NH=1，從而求得MG=NH=1，然后證得△EMG≌△FNH，∠MEF=∠NFE，EM=NF，進(jìn)而證得EM∥NF，從而得出四邊形ENFM是平行四邊形；
（3）作MN的垂直平分線，交MN于D，交x軸于A，先求得D的坐標(biāo)，繼而求得MN的解析式，進(jìn)而就可求得直線AD的解析式，令y=0，求得A的坐標(biāo)，根據(jù)對稱軸從而求得另一個交點的坐標(biāo)，就可求得方程-a（x+1）²+1=0的解．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)L₁：y=ax²-2ax+a+3=a（x-1）²+3，
∴頂點M坐標(biāo)為（1，3），
∵a＞0，
∴函數(shù)y=ax²-2ax+a+3（a＞0）的最小值為3，
∵二次函數(shù)L₁的對稱軸為x=1，當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而減小；
二次函數(shù)L₂：y=-a（x+1）²+1的對稱軸為x=-1，當(dāng)x＞-1時，y隨x的增大而減�。�
∴當(dāng)二次函數(shù)L₁，L₂的y值同時隨著x的增大而減小時，x的取值范圍是-1≤x≤1；
故答案為：3，-1≤x≤1．
（2）由二次函數(shù)L₁：y=ax²-2ax+a+3可知E（0，a+3），
由二次函數(shù)L₂：y=-a（x+1）²+1=-a²x-2ax-a+1可知F（0，-a+1），
∵M(jìn)（1，3），N（-1，1），
∴EF=MN=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴a+3-（-a+1）=2$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$-1，
作MG⊥y軸于G，則MG=1，作NH⊥y軸于H，則NH=1，
∴MG=NH=1，
∵EG=a+3-3=a，F(xiàn)H=1-（-a+1）=a，
∴EG=FH，
在△EMG和△FNH中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=FH}\\{∠EGM=∠FHN}\\{MG=NH}\end{array}\right.$，
∴△EMG≌△FNH（SAS），
∴∠MEF=∠NFE，EM=NF，
∴EM∥NF，
∴四邊形ENFM是平行四邊形；
∵EF=MN，
∴四邊形ENFM是矩形；
（3）由△AMN為等腰三角形，可分為如下三種情況：
①如圖2，當(dāng)MN=NA=2$\sqrt{2}$時，過點N作ND⊥x軸，垂足為點D，則有ND=1，DA=m-（-1）=m+1，
在Rt△NDA中，NA²=DA²+ND²，即（2$\sqrt{2}$）²=（m+1）²+1²，
∴m₁=$\sqrt{7}$-1，m₂=-$\sqrt{7}$-1（不合題意，舍去），
∴A（$\sqrt{7}$-1，0）．
由拋物線y=-a（x+1）²+1（a＞0）的對稱軸為x=-1，
∴它與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（-1-$\sqrt{7}$，0）．
∴方程-a（x+1）²+1=0的解為x₁=$\sqrt{7}$-1，x₂=-1-$\sqrt{7}$．
②如圖3，當(dāng)MA=NA時，過點M作MG⊥x軸，垂足為G，則有OG=1，MG=3，GA=|m-1|，
∴在Rt△MGA中，MA²=MG²+GA²，即MA²=3²+（m-1）²，
又∵NA²=（m+1）²+1²，
∴（m+1）²+1²=3²+（m-1）²，m=2，
∴A（2，0），
則拋物線y=-a（x+1）²+1（a＞0）的左交點坐標(biāo)為（-4，0），
∴方程-a（x+1）²+1=0的解為x₁=2，x₂=-4．
③當(dāng)MN=MA時，3²+（m-1）²=（2$\sqrt{2}$）²，
∴m無實數(shù)解，舍去．
綜上所述，當(dāng)△AMN為等腰三角形時，方程-a（x+1）²=0的解為
x₁=$\sqrt{7}$-1，x₂=-1-$\sqrt{7}$或x₁=2，x₂=-4．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等，求得A的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．