Question

5．直線y=x-6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)E從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段BO向O點(diǎn)移動(dòng)（點(diǎn)E不能到達(dá)點(diǎn)O），過(guò)E作EF∥AB，交x軸于F．將四邊形ABEF沿EF折疊，得到四邊形DCEF，其中，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C，線段CD交y軸于H點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求證：四邊形DHEF為平行四邊形；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形DHEF為菱形；
（3）設(shè)四邊形DCEF落在第一象限的圖形面積為S，求S與t的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）由直線AB的解析式可得出OA=OB，從而得出∠BAO=45°，∠OFE=45°，∠AFE=135°，結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出∠DFE=135°，進(jìn)而得出∠AFD=90°，即DF⊥x軸，DF∥EH，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行即可證出四邊形DHEF為平行四邊形；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出EF=DF，從而可得出關(guān)于時(shí)間t的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)四邊形DCEF落在第一象限內(nèi)的圖形的形狀不同分兩種情況考慮，根據(jù)折疊的性質(zhì)以及三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 （1）依照題意畫(huà)出圖形，如圖1所示．
∴直線y=x-6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，
∴A（6，0），B（0，-6），
∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°，
∵AB∥EF，
∴∠OFE=45°，∠AFE=135°．
由折疊的性質(zhì)可知：∠DFE=135°，
∴∠AFD=90°，即DF⊥x軸，
∴DF∥EH，
∵DH∥EF，
∴四邊形DHEF為平行四邊形．
（2）要使平行四邊形DHEF為菱形，只需EF=DF，
∴$\sqrt{2}（6-t）=t$，
∴$t=\frac{{6\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}+1}}=12-6\sqrt{2}$．
（3）分兩種情況討論（如圖2所示）：
①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，
四邊形DCEF落在第一象限內(nèi)的圖形是△DFG，
此時(shí)GF=DF=t，
∴S=$\frac{1}{2}{t^2}$；
②當(dāng)3＜t＜6時(shí)，
四邊形DCEF落在第一象限內(nèi)的圖形是梯形，
此時(shí)DF=GF=t，OG=OH=2t-6，
∴S=$\frac{1}{2}{t^2}$-$\frac{1}{2}$（2t-6）²=-$\frac{3}{2}{t}^{2}$+12t-18=$-\frac{3}{2}{（t-4）^2}+6$．
綜上可知：S與t的函數(shù)表達(dá)式為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{t}^{2}（0＜t≤3）}\\{-\frac{3}{2}（t-4）^{2}+6（3＜t＜6）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定、折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）找出DF∥EH；（2）找出關(guān)于t的一元一次方程；（3）分兩種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．