Question

4．設P是高為h的正三角形內(nèi)的一點，P到三邊的距離分別為x，y，z（x≤y≤z）．若以x，y，z為邊可以組成三角形，則z應滿足的條件為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$h≤z$＜\frac{1}{3}$h
• B． $\frac{1}{3}$h≤z$＜\frac{1}{2}$h
• C． $\frac{1}{2}$h≤z$＜\frac{3}{4}$h
• D． $\frac{3}{4}h≤z＜h$

Answer 1

分析 如圖，連接AP，BP，CP，先利用S_△ABC=S_△APC+S_△BPC+S_△APB，找出x，y，z與h的關系，再運用三角形三邊關系可得z＜$\frac{1}{2}$h，由x≤y≤z可得z≥$\frac{1}{3}$h，即可求出z應滿足的條件．

解答 解：如圖，PE=x，PF=y，Pq=Q=z，連接AP，BP，CP，

∵S_△ABC=S_△APC+S_△BPC+S_△APB，
∴$\frac{1}{2}$BC•h=$\frac{1}{2}$AC•x+$\frac{1}{2}$BC•y+$\frac{1}{2}$AB•z，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，
∴$\frac{1}{2}$BC•h=$\frac{1}{2}$BC（x+y+z），即x+y+z=h，
∵以x，y，z為邊可以組成三角形，
∴x+y＞z，
∴2z＜h，即z＜$\frac{1}{2}$h，
又∵x≤y≤z，
∴z≥$\frac{1}{3}$（x+y+z），即z≥$\frac{1}{3}$h，
∴$\frac{1}{3}$h≤z$＜\frac{1}{2}$h．
故選：B．

點評 本題主要考查了三角形邊角關系，解題的關鍵是利用S_△ABC=S_△APC+S_△BPC+S_△APB，找出x，y，z與h的關系．