Question

17．如圖，在?ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，將△ABC沿AC翻折至△AEC，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E落在?ABCD所在的平面內(nèi)，連接ED，若△AED是直角三角形，則BC的長為4或6．

Answer 1

分析 在平行四邊形ABCD中，AB＜BC，要使△AED是直角三角形，有兩種情況：∠EAD=90°或∠AED=90°，需要畫出圖形分類討論，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，即可得到BC的長．

解答 解：分兩種情況：
①如圖1，當(dāng)∠EAD=90°，AB＜BC時(shí)，
∵AD=BC，BC=EC，
∴AD=EC，
∵AD∥BC，∠EAD=90°，
∴∠EGC=90°，
∵∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴∠AEC=30°，
∴GC=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴G是BC的中點(diǎn)，
在Rt△ABG中，BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=3，
∴BC=2BG=6；

②如圖2，當(dāng)∠AED=90°時(shí)，
∵AD=BC，BC=EC，
∴AD=EC，
又∵AE=AB=CD，AC=CA，
∴△ACE≌△CAD（SSS），
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
∴FE=FD，
∴∠FED=∠FDE，
∴∠AED=∠CDE，
∵∠AED=90°，
∴∠CDE=90°，
∴AE∥CD，
又∵AB∥CD，
∴B，A，E在同一直線上，
∴∠BAC=∠EAC=90°，
∵Rt△ABC中，∠B=30°，AB=2$\sqrt{3}$，
∴BC=AB÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4，
∴當(dāng)BC的長為4或6時(shí)，△AED是直角三角形．
故答案為：4或6．

點(diǎn)評 本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，發(fā)現(xiàn)存在兩種情況，進(jìn)行分類討論．