Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)．
（1）寫出這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；
（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連接AC、DE和DB．當(dāng)△AOC與△DEB相似時(shí)，求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性得出對(duì)稱軸即可；
（2）首先求出C，D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出CO的長(zhǎng)，利用當(dāng)△AOC與△DEB相似時(shí)，根據(jù)①假設(shè)∠OCA=∠EBD，②假設(shè)∠OCA=∠EDB，分別求出即可．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=2；
（2）如圖，


設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=a（x-1）（x-3）（a≠0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=3a，當(dāng)x=2時(shí)，y=-a，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為：（0，3a），頂點(diǎn)D坐標(biāo)為：（2，-a），
∴OC=|3a|，
又∵A（1，0），E（2，0），
∴AO=1，EB=1，DE=|-a|=|a|，
當(dāng)△AOC與△DEB相似時(shí)，
①假設(shè)∠OCA=∠EBD，
可得$\frac{AO}{DE}=\frac{OC}{EB}$，
即$\frac{1}{|a|}=\frac{|3a|}{1}$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
②假設(shè)∠OCA=∠EDB，可得$\frac{AO}{BE}=\frac{OC}{ED}$，
∴$\frac{1}{1}=\frac{|3a|}{|a|}$，此方程無解，
綜上所述，所得二次函數(shù)的表達(dá)式為：
y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{4\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$ 或y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，注意分類討論思想的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．