Question

17．如圖，AB為⊙O直徑，BC為⊙O切線，連接A、C兩點(diǎn)，交⊙O于點(diǎn)D，BE=CE，連接DE，OE．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求證：BC²=CD•2OE；
（3）若cos∠BAD=$\frac{3}{5}$，BE=6，求OE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理得到∠ADB=90°，再利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CE=DE=BE=$\frac{1}{2}$BC，則∠C=∠CDE，加上∠A=∠ADO得到∠C+∠A=90°，然后證明∠ODE=90°，從而根據(jù)切線的判定方法可判定DE為⊙O的切線；
（2）先證明OE是△ABC的中位線得到AC=2OE，再證明△ABC∽△BDC，則利用相似比和比例的性質(zhì)可得到結(jié)論；
（3）利用OE∥AC得到∠BOE=∠BAD，根據(jù)余弦定義得到cos∠BOE=$\frac{3}{5}$=$\frac{OB}{OE}$，則可設(shè)OB=3t，OE=5t，利用勾股定理得到BE=4t，于是得到4t=6，然后求出t后計(jì)算5t即可．

解答 （1）解：連接BD、OD，如圖，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E∵為斜邊BC的中點(diǎn)，
∴CE=DE=BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，
∴∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，
∴DE為⊙O的切線；

（2）證明：∵E是BC的中點(diǎn)，O點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，
∴OE是△ABC的中位線，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：CD=AC：BC，
即BC²=AC•CD．
∴BC²=2CD•OE；

（3）解：∵OE∥AC，
∴∠BOE=∠BAD，
在Rt△OBE中，cos∠BOE=$\frac{3}{5}$=$\frac{OB}{OE}$，
設(shè)OB=3t，OE=5t，
則BE=4t，
∴4t=6，解得t=$\frac{3}{2}$，
∴OE=5t=$\frac{15}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、三角形中位線性質(zhì)和切線的判定方法；會(huì)利用勾股定理和相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)和表示線段之間的關(guān)系．