Question

20．如圖，在斜邊長(zhǎng)為1的等腰Rt△OAB中作內(nèi)接正方形A₁B₁C₁D₁（正方形頂點(diǎn)都在△OAB邊上），在等腰Rt△OA₁B₁中作內(nèi)接正方形A₂B₂C₂D₂；在等腰Rt△OA₂B₂中，作內(nèi)接正方形A₃B₃C₃D₃；…，依次作下去，則第5個(gè)正方形A₅B₅C₅D₅的邊長(zhǎng)為（$\frac{1}{3}$）⁵．

Answer 1

分析 過(guò)O作OM垂直于AB，交AB于點(diǎn)M，交A₁B₁于點(diǎn)N，由三角形OAB與三角形OA₁B₁都為等腰直角三角形，得到M為AB的中點(diǎn)，N為A₁B₁的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出OM為AB的一半，由AB=1求出OM的長(zhǎng)，再由ON為A₁B₁的一半，即為MN的一半，可得出ON與OM的比值，求出MN的長(zhǎng)，即為第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，同理求出第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，依此類(lèi)推即可得到第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．

解答 解：過(guò)O作OM⊥AB，交AB于點(diǎn)M，交A₁B₁于點(diǎn)N，如圖所示：
∵A₁B₁∥AB，∴ON⊥A₁B₁，
∵△OAB為斜邊為1的等腰直角三角形，
∴OM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$，
又∵△OA₁B₁為等腰直角三角形，
∴ON=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{1}{2}$MN，
∴ON：OM=1：3，
∴第1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)A₁C₁=MN=$\frac{2}{3}$OM=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，
同理第2個(gè)正方形的邊長(zhǎng)A₂C₂=$\frac{2}{3}$ON=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$，
則第n個(gè)正方形A_nB_nD_nC_n的邊長(zhǎng)（$\frac{1}{3}$）ⁿ．
∴第5個(gè)正方形A₅B₅C₅D₅的邊長(zhǎng)為（$\frac{1}{3}$）⁵，
故答案為：（$\frac{1}{3}$）⁵．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)，屬于一道規(guī)律型的題，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．