Question

1．如圖①已知拋物線y=ax²-3ax-4a（a＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y的正半軸交于點C，連結(jié)BC，二次函數(shù)的對稱軸與x軸的交點E．
（1）拋物線的對稱軸與x軸的交點E坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0），點A的坐標(biāo)為（-1，0）；
（2）若以E為圓心的圓與y軸和直線BC都相切，試求出拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，如圖②Q（m，0）是x的正半軸上一點，過點Q作y軸的平行線，與直線BC交于點M，與拋物線交于點N，連結(jié)CN，將△CMN沿CN翻折，M的對應(yīng)點為M′．在圖②中探究：是否存在點Q，使得M′恰好落在y軸上？若存在，請求出Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸公式可以求出點E坐標(biāo)，設(shè)y=0，解方程即可求出點A坐標(biāo)．
（2）如圖①中，設(shè)⊙E與直線BC相切于點D，連接DE，則DE⊥BC，由tan∠OBC=$\frac{DE}{BD}$=$\frac{OC}{OB}$，列出方程即可解決．
（3）分兩種情形①當(dāng)N在直線BC上方，②當(dāng)N在直線BC下方，分別列出方程即可解決．

解答 解：（1）∵對稱軸x=-$\frac{-3a}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
∴點E坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$，0），
令y=0，則有ax²-3ax-4a=0，
∴x=-1或4，
∴點A坐標(biāo)（-1，0）．
故答案分別為（$\frac{3}{2}$，0），（-1，0）．
（2）如圖①中，設(shè)⊙E與直線BC相切于點D，連接DE，則DE⊥BC，
∵DE=OE=$\frac{3}{2}$，EB=$\frac{5}{2}$，OC=-4a，
∴DB=$\sqrt{E{B}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{2．{5}^{2}-1．{5}^{2}}$=2，
∵tan∠OBC=$\frac{DE}{BD}$=$\frac{OC}{OB}$，
∴$\frac{1.5}{2}$=$\frac{-4a}{3}$，
∴a=-$\frac{3}{4}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3．
（3）如圖②中，由題意∠M′CN=∠NCB，
∵MN∥OM′，
∴∠M′CN=∠CNM，
∴MN=CM，
∵直線BC解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∴M（m，-$\frac{3}{4}$m+3），N（m，-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{4}$m+3），作MF⊥OC于F，
∵sin∠BCO=$\frac{FM}{MC}$=$\frac{BO}{BC}$，
∴$\frac{m}{CM}$=$\frac{4}{5}$，
∴CM=$\frac{5}{4}$m，
①當(dāng)N在直線BC上方時，-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3-（-$\frac{3}{4}$x+3）=$\frac{5}{4}$m，
解得：m=$\frac{7}{3}$或0（舍棄），
∴Q₁（$\frac{7}{3}$，0）．
②當(dāng)N在直線BC下方時，（-$\frac{3}{4}$m+3）-（-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{4}$m+3）=$\frac{5}{4}$m，
解得m=$\frac{17}{3}$或0（舍棄），
∴Q₂（$\frac{17}{3}$，0），
綜上所述：點Q坐標(biāo)為（$\frac{7}{3}$，0）或（$\frac{17}{3}$，0）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、圓、翻折變換、三角函數(shù)、一次函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是通過三角函數(shù)建立方程，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．