Question

14．如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的特異線，稱這個三角形為特異三角形．
（1）如圖1，△ABC是等腰銳角三角形，AB=AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分線BD交AC于點D，且BD是△ABC的一條特異線，則∠BDC=72度；
（2）如圖2，△ABC中，∠B=2∠C，線段AC的垂直平分線交AC于點D，交BC于點E．求證：AE是△ABC的一條特異線；
（3）如圖3，已知△ABC是特異三角形，且∠A=30°，∠B為鈍角，求出所有可能的∠B的度數(shù)（如有需要，可在答題卡相應位置另外畫圖）．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質得出∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A，設∠A=x，則∠C=∠ABC=∠BDC=2x，在△ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得出方程，解方程即可；
（2）只要證明△ABE，△AEC是等腰三角形即可．
（3）如圖2中，當BD是特異線時，分三種情形討論，如圖3中，當AD是特異線時，AB=BD，AD=DC根據(jù)等腰三角形性質即可解決問題，當CD為特異線時，不合題意．

解答 （1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$ABC，
∵BD是△ABC的一條特異線，
∴△ABD和△BCD是等腰三角形，
∴AD=BD=BC，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，
設∠A=x，則∠C=∠ABC=∠BDC=2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
即x+2x+2x=180°，
解得：x=36°，
∴∠BDC=72°，
故答案為：72；

（2）證明：∵DE是線段AC的垂直平分線，
∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC是一條特異線．      

（3）解：如圖3，
當BD是特異線時
如果AB=BD=DC，
則∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°=15°=135°，
如果AD=AC，DB=DC，
則∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°，
如果AD=DB，DC=DB，
則ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°（不合題意舍棄），
如圖4中，當AD是特異線時，AB=BD，AD=DC，
則∠ABC=180°-20°-20°=140°，
當CD為特異線時，不合題意．
綜上所述，符合條件的∠ABC的度數(shù)為135°或112.5°或140°．

點評 本題考查了等腰三角形的判定和性質、三角形內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質等知識，解題的關鍵是理解題意，學會分類討論，學會畫出圖形，借助于圖形解決問題，學會利用方程去思考問題，屬于中考創(chuàng)新題目．