Question

19．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合），矩形PECF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AC上．
（1）探究DE與DF的關(guān)系，并給出證明；
（2）當(dāng)點(diǎn)P滿足什么條件時(shí)，線段EF的長最短？（直接給出結(jié)論，不必說明理由）

Answer 1

分析 （1）連接CD，首先根據(jù)△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)得到CD=AD，CD⊥AD，然后根據(jù)四邊形PECF是矩形得到△APE是等腰直角三角形，從而得到△DCE≌△DAF，證得DE=DF，DE⊥DF；
（2）根據(jù)DE=DF，DE⊥DF，得到EF=$\sqrt{2}$DE=$\sqrt{2}$DF，從而得到當(dāng)DE和DF同時(shí)最短時(shí)，EF最短得到此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合線段EF最短．

解答 解：（1）DE=DF，DE⊥DF，
證明：連接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴CD=AD，CD⊥AD，
∵四邊形PECF是矩形，
∴CE=FP，F(xiàn)P∥CB，
∴△APF是等腰直角三角形，
∴AF=PF=EC，
∴∠DCE=∠A=45°，
∴△DCE≌△DAF，
∴DE=DF，∠ADF=∠CDE，
∵∠CDA=90°，
∴∠EDF=90°，
∴DE=DF，DE⊥DF；

（2）∵DE=DF，DE⊥DF，
∴EF=$\sqrt{2}$DE=$\sqrt{2}$DF，
∴當(dāng)DE和DF同時(shí)最短時(shí)，EF最短，
∴當(dāng)DF⊥AC，DE⊥AB時(shí)，二者最短，
∴此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，線段EF最短．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠證得兩個(gè)三角形全等，難度不大．