Question

10．在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-1，-1），P（0，n）為y軸上一點，以AP為邊作正方形APFG（A，P，F(xiàn)，G的位置依次為順時針方向排列），當點F或G恰好落在反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$圖象上，則n的值-3或-4或3．

Answer 1

分析 分類討論：如圖，當n＞0時，作FM⊥y軸于M，AN⊥y軸于N，先證明△APN≌△PFM，得到AN=PM=1，PN=FM=n+1，則F（n+1，n-1），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征有（n+1）（n-1）=8，解得n₁=3，n₂=-3（舍去），即n的值為3；當n＜0時，四邊形AP′F′G′為正方形，作F′G⊥y軸于Q，G′H⊥AN于H，如圖，P′（0，n），同樣方法可證明△ANP′≌△P′QF′≌△G′HA，則AN=P′Q=G′H=1，NP′=F′Q=AH=-1-n，所以F′（n+1，n-1），G′（n，-2），根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征（n+1）（n-1）=8或-2n=8，然后分別解方程求出對應(yīng)n的值．

解答 解：如圖，當n＞0時，作FM⊥y軸于M，AN⊥y軸于N，
∵A（-1，-1），P（0，n），
∴AN=1，PN=n+1，
∵四邊形APFG為正方形，
∴AP=FM，∠APF=90°，
即∠APN+∠FPM=90°，
∵∠APN+∠PAN=90°，
∴∠PAN=∠FPM，
在△APN和△PFM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANP=∠PMF}\\{∠PAN=FPM}\\{AP=PF}\end{array}\right.$，
∴△APN≌△PFM，
∴AN=PM=1，PN=FM=n+1，
∴F（n+1，n-1），
當F（n+1，n-1）在反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$圖象上，
∴（n+1）（n-1）=8，解得n₁=3，n₂=-3（舍去），即n的值為3；
當n＜0時，四邊形AP′F′G′為正方形，作F′G⊥y軸于Q，G′H⊥AN于H，如圖，P′（0，n），
同樣方法可證明△ANP′≌△P′QF′≌△G′HA，
∴AN=P′Q=G′H=1，NP′=F′Q=AH=-1-n，
∴F′（n+1，n-1），G′（n，-2），
當F′（n+1，n-1）在反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$圖象上，則（n+1）（n-1）=8，解得n₁=-3，n₂=3（舍去），即n的值為-3；
當G′（n，-2）在反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$圖象上，則-2n=8，解得n=-4，
綜上所述，n的值為-3或-4或3．
故答案為-3或-4或3．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．也考查了正方形的性質(zhì)．本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出幾何圖形．