Question

11．如圖，長(zhǎng)方形EFGH內(nèi)接于邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，設(shè)AE=x，試求正方形EFGH的面積y與x的函數(shù)解析式，寫(xiě)出自變量x的取值范圍，并求出AE=$\frac{1}{4}$時(shí)，正方形EFGH的面積．

Answer 1

分析 由AAS證明△AHE≌△DGH，得出AE=DH=x，AH=DG=1-x，再根據(jù)勾股定理，求出EH²，即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式；再求出當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時(shí)，y的值，即可得出正方形EFGH的面積．

解答 解：如圖所示：
∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，
∴∠A=∠D=90°，AD=1．
∴∠1+∠2=90°，
∵四邊形EFGH為正方形，
∴∠GHE=90°，GH=HE．
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△AHE與△DGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}&{\;}\\{∠3=∠2}&{\;}\\{HE=GH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△DGH（AAS），
∴AE=DH=x，AH=DG=1-x，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：
EH²=AE²+AH²=x²+（1-x）²=2x²-2x+1；
即y=2x²-2x+1（0＜x＜1）；
當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時(shí)，y=2×（$\frac{1}{4}$）²-2×$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{8}$，
即AE=$\frac{1}{4}$時(shí)，正方形EFGH的面積為$\frac{5}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用；本題難度適中，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．