Question

7．如圖，邊長為1的等邊三角形ABC，D、E分別是BC、CA上的點，且有BD=CE，AD與BE交于點F，若AD⊥CF，則BD長為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意推知△ADB≌△BEC（SAS），結(jié)合全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定得到：△AEF∽△ADC，由此得出比例式，再由勾股定理列出方程，聯(lián)立方程組求出BD的長度．

解答 解：∵三角形ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠C=∠ABD=60°，
在△ADB和△BEC中$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△BEC（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
又∵BD=CE，
∴∠BAD+∠ABF=60°，即∠AFE=60°．
在△AEF和△ADC中，∠AFE=∠ACB，∠DAC=∠EAF，
∴△AEF∽△ADC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$．
設(shè)BD=x，DF=m，DA=n，
則x²=mn①
$\frac{n-m}{1}$=$\frac{1-x}{n}$，
∴n²-mn=1-x②
又∵AD⊥CF，
∴AC²-AF²=CD²-DF²，
∴1²-（n-m）²=（1-x）²-m²③．
由①②③可得：x=$\frac{1}{3}$，即BD=$\frac{1}{3}$．
故答案是：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點的應(yīng)用，題目比較好，難度偏大．