Question

10．已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)A（-3，-2），B（-1，-2），C（0，1）三點(diǎn)，
（1）求該函數(shù)解析式；
（2）已知P是該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，求sin∠ACP的值．

Answer 1

分析 （1）將各點(diǎn)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法即可求得．
（2）作AF⊥y軸于F，交PC于D，作DE⊥AC于E，利用待定系數(shù)法求得直線PC的解析式，進(jìn)而求得D的坐標(biāo)，求得△ADC的面積，根據(jù)三角形面積公式求得DE，根據(jù)勾股定理求得DC，即可求得sin∠ACP的值．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+c，
∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)A（-3，-2），B（-1，-2），C（0，1）三點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=-2}\\{a-b+c=-2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：y=x²+4x+1．
（2）如圖，作AF⊥y軸于F，交PC于D，作DE⊥AC于E，
由y=x²+4x+1=（x+2）²-3，可知P（-2，-3），
∵A（-3，-2），C（0，1），
∴AC=$\sqrt{（-3-0）^{2}+（-2-1）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=-3}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線PC的解析式為y=2x+1，
把y=-2代入得，x=-$\frac{3}{2}$，
∴D（-$\frac{3}{2}$，-2），
∴DF=$\frac{3}{2}$，
∵AF=3，
∴AD=DF，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△AFC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3×（2+1）=$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$AC•DE=$\frac{9}{4}$，
∴3$\sqrt{2}$DE=$\frac{9}{2}$，
∴DE=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∵DC=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴sin∠ACP=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4}}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，綜合性較強(qiáng)，難度適中．