Question

7．如圖：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一點(diǎn)，AE⊥BD交BD的延長線于E，且AE=$\frac{1}{2}$BD，DF⊥AB于F，AE，BC的延長線相交于點(diǎn)G．求證：CD=DF．

Answer 1

分析 利用已知條件易證△ACG≌△BCD，所以AG=BD，AE=$\frac{1}{2}$BD，進(jìn)而可證明CD=DF．

解答 證明：∵∠ACB=90
∴∠ACG=∠ACB=90°，AC⊥BC，∠CBD+∠CDB=90°
∵AE⊥BD
∴∠BEA=∠BEG=90°
∴∠CAG+∠ADE=90°
∵∠CDB=∠ADE
∴∠CBD=∠CAG，
在△ACG和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠ACB}\\{AC=BC}\\{∠CBD=∠CAG}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△BCD （ASA），
∴AG=BD
∵AE=1/2BD
∴AE=1/2AG
∴點(diǎn)E是AG的中點(diǎn)，
∴AE=GE
在△ABE和△GBE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=GE}\\{∠BEA=∠BEG}\\{EB=EB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△GBE （SAS），
∴∠ABE=∠GBE，
∵DF⊥AB   AC⊥BC
∴CD=DF．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．