Question

5．拋物線l：y=-x²+4ax+b（a＞0）與x軸相交于O、A兩點（其中O為坐標原點），過點P（a+3，2）作直線PM⊥x軸于點M，交拋物線于點B，如圖所示，直線y=$\frac{1}{2}$x+1與拋物線交于點C，D
（1）當拋物線l過點P時，求拋物線l的解析式；
（2）當a=3時，求OA的長，并證明拋物線l的對稱軸過點P；
（3）把l在直線BM右側的部分（含點B）記為G，用a表示圖象G最高點N的坐標；
（4）當拋物線l與直線y=$\frac{1}{2}$x+1的一個交點的橫坐標為x₀，且滿足6≤x₀≤10時，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意b=0，把P（a+3，2）的坐標代入y=-x²+4ax得到2=-（a+3）²+4a（a+3），解方程即可解決問題．
（2）求出點P的坐標以及拋物線的對稱軸即可判斷．
（3）分三種情形討論即可①當a+3＜2a，即a＞3時，N（a+3，3a²+6a-9）．②當a+3=2a，即a=3時，N（6，36）．③當a+3＞2a時，即0＜a＜3時，N（2a，4a²）．
（4）在直線y=$\frac{1}{2}$x找到兩個特殊點（6，4）和（10，6）代入拋物線的解析式求出a的值，即可解決問題．

解答 解：（1）∵y=-x²+4ax+b（a＞0）與x軸相交于O、A兩點（其中O為坐標原點），
∴b=0，
把P（a+3，2）的坐標代入y=-x²+4ax得到，2=-（a+3）²+4a（a+3），解得a=$\frac{-3+\sqrt{42}}{3}$或$\frac{-3-\sqrt{42}}{3}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{-3+\sqrt{42}}{3}$，
∴拋物線l的解析式為y=-x²+$\frac{4\sqrt{42}-12}{3}$x．

（2）當a=3時，拋物線為y=-x²+12x，
令y=0，-x²+12x=0，解得x=0或12，
∴A（12，0），
∴OA=12，
∵P（6，2），拋物線y=-x²+12x的對稱軸x=-$\frac{12}{-2}$=6，
∴點P在拋物線的對稱軸上．

（3）∵y=-x²+4ax=-（x-2a）²+4a²，
∴拋物線的對稱軸x=2a，
①當a+3＜2a，即a＞3時，N（a+3，3a²+6a-9）．
②當a+3=2a，即a=3時，N（6，36）．
③當a+3＞2a時，即0＜a＜3時，N（2a，4a²）．

（4）對于直線y=$\frac{1}{2}$x+1，x=6時，y=4，x=10時，y=6，
把（6，4）的坐標代入y=-x²+4ax得a=$\frac{5}{3}$，
把（10，6）的坐標代入y=-x²+4ax得a=$\frac{53}{20}$，
∴a的范圍$\frac{5}{3}$≤a≤$\frac{53}{20}$．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、待定系數法等知識，解題的關鍵是靈活運用 待定系數法確定函數解析式，學會利用特殊點解決問題，屬于中考壓軸題．