Question

15．如圖，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（n，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)（n＜0）．以AO為一邊作矩形AOBC，使OB=2OA，點(diǎn)C在第二象限．將矩形AOBC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得矩形AGDE．過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)y=kx+m（k≠0）交y軸于點(diǎn)F，F(xiàn)B=FA．拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G且和直線(xiàn)AF交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作x軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)M．
（Ⅰ）若n=-4，求m的值；
（Ⅱ）求k的值；
（Ⅲ）點(diǎn)A位置改變時(shí)，△AMH的面積與矩形AOBC的面積比是否改變？說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先表示出點(diǎn)F坐標(biāo)，得出OF，F(xiàn)A，再用勾股定理建立方程求解即可．
（Ⅱ）由題意知OB=2OA=2n，在直角三角形AEO中，OF=OB-BF=-2n-AF，因此可用勾股定理求出AF的表達(dá)式，也就求出了FB的長(zhǎng)，由于F的坐標(biāo)為（0，m）據(jù)此可求出m，n的關(guān)系式，可用n替換掉一次函數(shù)中m的值，然后將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出k的值．
（Ⅲ）思路同（Ⅱ）一樣，先用n表示出E、F、G的坐標(biāo)，然后代入拋物線(xiàn)的解析式中，得出a，b，c與n的函數(shù)關(guān)系式，然后用n表示出二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而可用n表示出H點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出△AMH的面積和矩形AOBC的面積進(jìn)行比較即可

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)x=0時(shí)，y=kx+m=m．
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m）．OF=m．        　　 
由點(diǎn)A（-4，0），OB=2OA，
得OA=4，OB=8．
∴FA=FB=OB-OF=8-m．
在Rt△AOF中，由AF²=OA²+OF²，得（8-m）²=4²+m²．
解得m=3．                 
 （Ⅱ）根據(jù)題意得到：E（3n，0），G（n，-n）
當(dāng)x=0時(shí)，y=kx+m=m，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，m）
∵Rt△AOF中，AF²=m²+n²，
∵FB=AF，
∴m²+n²=（-2n-m）²，
化簡(jiǎn)得：m=-0.75n，
對(duì)于y=kx+m，當(dāng)x=n時(shí)，y=0，
∴0=kn-0.75n，
∴k=0.75．

（Ⅲ）∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)E、F、G，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9{n}^{2}a+3nb+c=0}\\{{n}^{2}a+nb+c=-n}\\{c=-0.75n}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{4n}$，b=-$\frac{1}{2}$，c=-0.75n，
∴拋物線(xiàn)為y=$\frac{1}{4n}$x²-$\frac{1}{2}$x-0.75n，
解方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4n}{x}^{2}-\frac{1}{2}x-0.75}\\{y=0.75x-0.75n}\end{array}\right.$，
得：x₁=5n，y₁=3n；x₂=0，y₂=-0.75n，
∴H坐標(biāo)是：（5n，3n），HM=-3n，AM=n-5n=-4n，
∴△AMH的面積=0.5×HM×AM=6n²；
而矩形AOBC的面積=2n²，
∴△AMH的面積：矩形AOBC的面積=3，不隨著點(diǎn)A的位置的改變而改變．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了勾股定理，待定系數(shù)法，解方程組，三角形的面積公式．解本題的關(guān)鍵是確定出雙曲線(xiàn)和直線(xiàn)的解析式．