Question

3．操作發(fā)現(xiàn)
（1）如圖1，已知△ABC，邊BC繞點B旋轉至BC′位置，試在圖中畫出△ABC以同樣方式旋轉得到的圖形△A′BC′．
（2）如圖2，在△ABC中，AB=6，AC=4．分別以AB、AC為邊向外作△ABD和△ACE，使∠BAD=∠CAE，AD=8，AE=3．連接BE、CD，判斷BE與CD有什么數(shù)量關系？并說明理由．
（3）如圖3，某單位擬擴建花壇，已經(jīng)測得花壇固定部分△ABD中∠A=45°，AD=6$\sqrt{2}$，AB=7．花壇擴建部分△DBC必須保持DB=DC，那么當擴建后花壇四邊形ABCD面積最大時，A、C兩點之間的距離為多少？

Answer 1

分析 （1）作∠ABA′=∠CBC′，然后截取A′B=AB，C′B=CB，連接A′B，A′C′，C′B，△A′BC′即為所求；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質定理即可得到結論；
（3）過D點作DE垂直于AD，交AB延長線于E點，連接CE，如圖，則△DAE和△DBC為等腰直角三角形，根據(jù)其性質，可得△ABD≌△ECD，進而得到CE是高，且CE=AB，最后根據(jù)勾股定理求出即可．

解答 解：（1）如圖所示，△A′BC′即為所求；

（2）連接DC，BE，
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠DAC=∠EAB，
∵AB=6，AC=4，AD=8，AE=3
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，$\frac{AC}{AE}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AE}$，
∴△ADC∽△ABE，
∴$\frac{DC}{BE}=\frac{AC}{AE}=\frac{4}{3}$；

（3）要使擴建后花壇四邊形ABCD面積最大，
∵△ABD為固定部分，
∴△BCD的面積最大，
∴當BD⊥CD時，△BCD的面積最大，
∵BD=CD，
∴△BCD為等腰直角三角形，
如圖3，過D點作DE垂直于AD，交AB延長線于E點，連接CE，AC，
則△DAE為等腰直角三角形
∴∠2=45°，
∵BD⊥CD，∠DAB=∠DBC=45°，
在△ABD和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{∠ADB=∠EDC}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ECD，
∴∠1=∠DAB=45°，
∴∠CEB=90°，
∴CE是高，且CE=AB=7，
∴AE=$\sqrt{2}$AD=12，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{193}$．

點評 本題主要考查了旋轉的性質，基本作圖，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質和全等三角形的判定與性質，作輔助線，構建等腰直角三角形，是解答本題的關鍵．