Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D為BC上一點，過點D作DE⊥AB于E．
（1）連接AD，取AD中點F，連接CF，CE，FE，判斷△CEF的形狀并說明理由
（2）若BD=$\sqrt{2}$CD，將△BED繞著點D逆時針旋轉n°（0＜n＜180），當點B落在Rt△ABC的邊上時，求出n的值．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半證得FC=FE即可，再證明∠CFE=60°，從而進行判斷；
（2）根據∠B=60°，∠DEB=90°，可知BD=$\sqrt{2}$DE，又BD=$\sqrt{2}$CD，則DC=DE，將△BED繞著點D逆時針旋轉n°（0＜n＜180），當點B落在Rt△ABC的邊上時，∠CDE等于旋轉角，∠CDE=180°-∠BDE=180°-30°=150°．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，F是AD中點，
∴FC=$\frac{1}{2}$AD，
∵DE⊥AB，F是AD中點，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD，
∴FC=FE，
∴△CEF是等腰三角形；
又EF=AF，CF=AF，故∠CFE=2∠CAB=60°
從而可知：△CEF是等邊三角形．
（2）n=60°或135°
理由：①將△BED繞著點D逆時針旋轉n°（0＜n＜180），當點B落在Rt△ABC的邊AC上時，此時記為B'點（圖請自畫）
△B'CD為直角三角形，
又∵BD=$\sqrt{2}$CD，
故∠B'DC=45°；從而旋轉角∠BDB'=180°-∠B'DC=180°-45°=135°
②當B'在邊AB上上時，有DB=DB'，又∠B=60°，故可知△DBB'為等邊三角形，所以∠BDB'=60°；即n=60°

點評 本題主要考查了旋轉的性質、直角三角形的性質、等腰三角形的判定等知識的綜合運用，熟練的運用旋轉的性質和直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半這一性質是解決問題的關鍵．