Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N．連接B、D，使分別交AM、AN于E、F，求證：
（1）△AEN、△AFM都為等腰直角三角形．
（2）S_△AMN=2S_△AEF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）將△ADN順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，連接MN，易證△MAH≌△MAN，可得HM=NM，∠HMA=∠NMA，即可證明△EMH≌△EMN，可得∠HEM=∠NEM即可解題；
（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得AM=

2

AF，AN=

2

AE，根據(jù)S_△AMN=

1

2

AM•AN•sin45°和S_△AEF=

1

2

AE•AF•sin45°即可解題．

解答：證明：（1）將△ADN順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，連接MN，

∴AH=AN，∠BAH=∠DAN，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠HAM=∠BAM+∠BAN=45°，
∵在△MAH和△MAN中，

AN=AH ∠NAM=∠HAM AM=AM

，
∴△MAH≌△MAN，（SAS）
∴HM=NM，∠HMA=∠NMA，
∵在△EMH和△EMN中，

HM=NM ∠HME=∠NME EM=EM

，
∴△EMH≌△EMN，（SAS）
∴∠HEM=∠NEM，
∵H、E、N在同一直線上，
∴∠HEM=∠NEM=90°，
∴△AEN是等腰直角三角形，
同理△AFM是等腰直角三角形；
（2）∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，
∴AM=

2

AF，AN=

2

AE，
∵S_△AMN=

1

2

AM•AN•sin45°，
S_△AEF=

1

2

AE•AF•sin45°，
∴

S△AMN

S△AEF

=

2

×

2

=2，
∴S_△AMN=2S_△AEF．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△MAH≌△MAN和△EMH≌△EMN是解題的關(guān)鍵．