Question

18．等邊△OAB在平面直角坐標系中，已知點A（2，0），將△OAB繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)a°（0＜a＜360）得△OA₁B₁．
（1）求出點B的坐標；
（2）當A₁與B₁的縱坐標相同時，求出a的值；
（3）在（2）的條件下直接寫出點B₁的坐標．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示過點B作BC⊥OA，垂足為C．由等邊三角形的性質(zhì)和特殊銳角三角函數(shù)值可知OC=1，BC=$\sqrt{3}$，從而可求得點B的坐標；
（2）如圖2所示，根據(jù)平行線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的定義可確定出a的值；
（3）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知A₁B₁=2，從而可求得點B₁的值．

解答 解：（1）如圖1所示過點B作BC⊥OA，垂足為C．

∵△OAB為等邊三角形，
∴∠BOC=60°，OB=BA．
∵OB=AB，BC⊥OA，
∴OC=CA=1．
在Rt△OBC中，$\frac{BC}{OC}=\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{3}$．
∴點B的坐標為（1，$\sqrt{3}$）．
（2）如圖2所示：

∵點B1與點A1的縱坐標相同，
∴A₁B₁∥OA．
①如圖2所示：當a=300°時，點A₁與點B₁縱坐標相同．
如圖3所示：

當a=120°時，點A₁與點B₁縱坐標相同．
∴當a=120°或a=300°時，點A₁與點B₁縱坐標相同．
（3）如圖2所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知A₁B₁=AB=2，點B的坐標為（1，2），
∴點B₁的坐標為（-1，$\sqrt{3}$）．
如圖3所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：點B₁的坐標為（1，-$\sqrt{3}$）．
∴點B1的坐標為（-1，$\sqrt{3}$）或（1，-$\sqrt{3}$）．

點評 本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．