Question

2．如圖，已知直線l₁∥l₂，且l₃與l₁，l₂分別交于A，B兩點(diǎn)，l₄與l₁，l₂相交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線AB上．
（1）【探究1】如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)間滑動(dòng)時(shí)，試探究∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系是否發(fā)生變化？并說(shuō)明理由；
（2）【應(yīng)用】如圖2，A點(diǎn)在B處北偏東32°方向，A點(diǎn)在C處的北偏西56°方向，應(yīng)用探究1的結(jié)論求出∠BAC的度數(shù)．
（3）【探究2】如果點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究∠ACP，∠BDP，∠CPD之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AC，交CD于點(diǎn)Q，由PQ∥l₁∥l₂結(jié)合“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”找出“∠1=∠CPQ，∠3=∠DPQ”，再通過(guò)角的計(jì)算即可得出結(jié)論；
（2）分別在B點(diǎn)和A點(diǎn)處畫方位圖，結(jié)合（1）的結(jié)論即可算出結(jié)果；
（3）分點(diǎn)P的位置不同來(lái)考慮：①當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AC，交CD于點(diǎn)Q，由PQ∥l₁∥l₂結(jié)合“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”找出“∠QPC=∠ACP，∠QPD=∠BDP”，再通過(guò)角的計(jì)算即可得出結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AC，交CD于點(diǎn)Q，利用①的方法可得出結(jié)論．綜合①②即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)間滑動(dòng)時(shí)，∠2=∠1+∠3保持不變．理由如下：
過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AC，交CD于點(diǎn)Q，如圖1所示．

∵PQ∥AC，
∴∠1=∠CPQ，
又∵PQ∥AC，BD∥AC，
∴PQ∥BD，
∴∠3=∠DPQ，
∴∠1+∠3=∠CPQ+∠DPQ，
即∠1+∠3=∠2．
（2）分別在B點(diǎn)和A點(diǎn)處畫方位圖，如圖2所示．

由（1）知：∠2=∠1+∠3
∴∠BAC=32°+56°=88°．
（3）①當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AC，交CD于點(diǎn)Q，如圖3所示．

∵PQ∥AC，
∴∠QPC=∠ACP．
又∵PQ∥AC，BD∥AC，
∴PQ∥BD，
∴∠QPD=∠BDP．
又∵∠CPD=∠QPD-∠QPC，
∴∠CPD=∠BDP-∠ACP．
②當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AC，交CD于點(diǎn)Q，如圖3所示．

同理可得：∠CPD=∠ACP-∠BDP．
綜上：∠CPD=|∠ACP-∠BDP|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)以及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)找出“∠1=∠CPQ，∠3=∠DPQ”；（2）利用（1）結(jié)論套入數(shù)據(jù)之間計(jì)算；（3）分情況討論．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用平行線的性質(zhì)找出相等（或互補(bǔ)）的角是關(guān)鍵．