Question

6．如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA=5，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，點(diǎn)B在⊙O上，BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C，連結(jié)AB，AB=AC．
（1）直線AB與⊙O相切嗎？請(qǐng)說明理由；
（2）線段BC的中點(diǎn)為M，當(dāng)⊙O的半徑r為多少時(shí)，直線AM與⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）連接OB，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得∠ABC=∠ACB，∠OPB=∠OBP，則利用對(duì)頂角相等可得到∠OBP+∠ABC=90°，則OB⊥AB，于是可判定直線AB是⊙O的切線；
（2）設(shè)AM與⊙O切于點(diǎn)T，連接OT，如圖，利用切線長(zhǎng)定理得到∠OAT=∠OAB，再利用等腰三角形的性質(zhì)得∠CAM=∠BAM，則∠CAM=2∠OAT，于是可得到∠OAT=30°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得到OT=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$．

解答 解：（1）直線AB與⊙O相切．理由如下：
連接OB，如圖，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∵OA⊥l，
∴∠OAC=90°，
∴∠ACB+∠APC=90°．
而∠ABC=∠ACB，∠APC=∠OPB=∠OBP，
∴∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴直線AB是⊙O的切線；
（2）設(shè)AM與⊙O切于點(diǎn)T，連接OT，如圖，
∵AB和AT為切線，
∴∠OAT=∠OAB，
∵M(jìn)點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，
而AB=AC，
∴∠CAM=∠BAM，
∴∠CAM=2∠OAT，
而∠CAO=90，
∴∠OAT=30°，
∴OT=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．若直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d=r；直線l和⊙O相離?d＞r．也考查了切線長(zhǎng)定理．