Question

6．已知：在?ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，CE=CD，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，點(diǎn)G為CD上的一點(diǎn)，連接DF，EG，AG，∠1=∠2．
（1）求證：G為CD的中點(diǎn)．
（2）若CF=2.5，AE=4，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）通過證△ECG≌△DCF得到CG=CF，結(jié)合已知條件知CG=$\frac{1}{2}$CD，即G為CD的中點(diǎn)．
（2）求出DC=CE=2CF=4，求出AB，根據(jù)勾股定理求出BE即可．

解答 （1）證明：如圖，∵點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，
∴CF=$\frac{1}{2}$CE
在△ECG與△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{∠C=∠C}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△DCF（AAS），
∴CG=CF=$\frac{1}{2}$CE．
又CE=CD，
∴CG=$\frac{1}{2}$CD，
即G為CD的中點(diǎn)；

（2）解：∵CE=CD，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，CF=2.5，
∴DC=CE=2CF=5，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=5，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．