Question

4．如圖，∠P的兩邊分別與⊙O交于點A、B、C、D，且其平分線恰好過圓心O．求證：PA=PC．

Answer 1

分析 作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F，根據(jù)垂徑定理得到AE=EB，CF=FD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到OE=OF，證明△POE≌△POF，得到PE=PF，計算即可．

解答 證明：作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F，
∴AE=EB，CF=FD，
∵OP平分∠BPD，OE⊥PB，OF⊥PD，
∴OE=OF，
∴AB=CD，
∴AE=CF，
在△POE和△POF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OPE=∠OPF}\\{∠PEO=∠PFO}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△POE≌△POF，
∴PE=PF，
∴PE-AE=PF-CF，即PA=PC．

點評 本題考查的是垂徑定理、角平分線的性質(zhì)定理，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵．