Question

12．如圖，AC、BC分別平分∠MAB和∠ABN，∠ACB=90°．
（1）AM和BN存在怎樣的位置關(guān)系？并寫出理由；
（2）過點(diǎn)C作一條直線，分別交AM、BN于點(diǎn)D，E．則AB、AD、BE三者間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并寫出理由．

Answer 1

分析 （1）由角平分線的性質(zhì)不難得出∠MAB+∠ABN=180°，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）過C點(diǎn)作輔助線CF使其平行于AM，由平行線的性質(zhì)可得出各角之間的關(guān)系，進(jìn)一步求出邊之間的關(guān)系．

解答 解：（1）AM∥BN，
∵∠ACB=90°，AC，BC分別為∠MAB、∠NBA的平分線，
∴∠ABC+∠CAB=$\frac{1}{2}$（∠MAB+∠ABN）=90°，
∴∠MAB+∠ABN=180°，
∴AM∥BN；

（2）過E點(diǎn)作輔助線CF使其平行于AM，

∵AM∥BN，CF∥BC，
∴CF∥AD∥BC，
∴∠ACF=∠DAC，∠BCF=∠CBE，
∵∠FAC=∠DAC，∠FBC=∠CBE，
∴∠ACF=∠FAC，∠BCF=∠FBC，
∴AF=FC=FB，
∴F為AB的中點(diǎn)，又EF∥AD∥BC，
根據(jù)平行線等分線段定理得到E為DC中點(diǎn)，
∴DC=EC，
∵CF為梯形ABED中位線，
∴AD+BE=2CF，
∵AF=FE=FB，
∴AD+BE=AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線的定義，平行線的判定和性質(zhì)，梯形的中位線的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．