Question

5．如圖，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=12，點E、F分別為線段BC、DE的中點，連接BF、AE交于點G．
（1）求線段BF的長度；
（2）求證：BG=GF．

Answer 1

分析 （1）過F作FM⊥BC于M，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出CD，求出FM=$\frac{1}{2}$DC=4，求出EM，根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）延長BF、AD交于Q，過F作FW∥AD交AB于W，交AE于R，求出W為AB中點，R為AE中點，F(xiàn)為BQ的中點，根據(jù)三角形中位線求出FR，再證△DFQ∽△EFB，求出BE=DQ，求出FW，求出FR=BE，證△FRG∽△BEG，得出比例式，即可得出答案．

解答 （1）解：如圖1：

過F作FM⊥BC于M，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC=8，∠C=90°，
∴∠FMB=∠C=90°，
∴FM∥DC，
∵F位DE的中點，
∴M為EC的中點，
∴FM=$\frac{1}{2}$DC=4，
∵E位BC中點，M為CE中點，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×12$=6，EM=EC=3，
∴BM=6+3=9，
在Rt△BMF中，由勾股定理得：BF=$\sqrt{{9}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{97}$；

（2）證明：如圖2：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=12，AD∥BC，
延長BF、AD交于Q，過F作FW∥AD交AB于W，交AE于R，
∵F為DE中點，AD∥BC，
∴W為AB中點，R為AE中點，F(xiàn)為BQ的中點，
∴WR=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}×6$=3，
∵AD∥BC，
∴△DFQ∽△EFB，
∴$\frac{DQ}{BE}$=$\frac{EF}{DF}$，
∵DF=EF，
∴BE=DQ=6，
∴WF=$\frac{1}{2}$AQ=$\frac{1}{2}×$（12+6）=9，
∴RF=9-3=6=BE，
∵FW∥AD∥BC，
∴△FRG∽△BEG，
∴$\frac{FR}{BE}$=$\frac{FG}{BG}$，
∵BE=FR，
∴BG=GF．

點評 本題考查了三角形的中位線，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強，難度偏大．