Question

11．如圖，∠MAN=45°，點(diǎn)C在射線AM上，AC=10，過(guò)C點(diǎn)作CB⊥AN交AN 于點(diǎn)B，P為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q點(diǎn)為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持PQ=PB．

（1）如圖1，若∠BPQ=45°，求證：△ABP是等腰三角形；
（2）如圖2，DQ⊥AP于點(diǎn)D，試問(wèn)：此時(shí)PD的長(zhǎng)度是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)計(jì)算其長(zhǎng)度；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，將△PBQ以每秒1個(gè)單位的速度向右勻速平移，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，B點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，求△ABC和△PQE的重疊部分的面積．

Answer 1

分析 （1）由PQ=PB，求得∠PBQ=∠PQB=67.5°，∠APB=180°-45°-67.5°=67.5°，即可得出△ABP為等腰三角形；
（2）PD的長(zhǎng)度不變化，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，由AAS證得△PDQ≌△PBH，得出PD=BH=$\frac{1}{2}$AC=5；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，△BPQ為等腰直角三角形，QP=PB=$\frac{1}{2}$AC=5，AB=5$\sqrt{2}$，將△PBQ向右平移，點(diǎn)P落到BC上時(shí)，平移了$\frac{5\sqrt{2}}{2}$個(gè)單位，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，平移了5$\sqrt{2}$個(gè)單位，分三種情況討論，①當(dāng)0＜t＜$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，S=S_△PQE-S_△BEF=$\frac{25}{2}-\frac{1}{2}{t^2}$；②當(dāng)$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$≤t＜$5\sqrt{2}$時(shí)，$S=\frac{1}{2}B{Q^2}=\frac{1}{2}×{（{5\sqrt{2}-t}）^2}$=${t^2}-5\sqrt{2}t+25$；③當(dāng)t≥$5\sqrt{2}$時(shí)，s=0．

解答 （1）證明：∵∠BPQ=45°，PQ=PB，
∴∠PBQ=∠PQB=67.5°，
∵∠MAN=45°，
∴∠APB=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠APB=∠PBQ，
∴△ABP為等腰三角形；
（2）解：PD的長(zhǎng)度不變化，
過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，如圖1所示：
∵DQ⊥AP，
∴∠PDQ=∠PHB=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠HBA=45°，
∴∠DPQ=∠PQB-∠MAN=∠PBQ-∠HBA=∠PBH，
在△PDQ和△PBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPQ=∠PBH}\\{∠PDQ=∠BHP=90°}\\{PQ=PB}\end{array}\right.$，
∴△PDQ≌△PBH（AAS），
∴PD=BH=$\frac{1}{2}$AC=5；
（3）解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，
則點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，∠QPB=90°，∠PQB=∠PBQ=45°，QP=PB=$\frac{1}{2}$AC=5，AB=5$\sqrt{2}$，
將△PBQ向右平移，點(diǎn)P落到BC上時(shí)，平移了$\frac{5\sqrt{2}}{2}$個(gè)單位，
點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，平移了5$\sqrt{2}$個(gè)單位，分三種情況討論，
①當(dāng)0＜t＜$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$時(shí)，如圖2所示：
S=S_△PQE-S_△BEF=$\frac{25}{2}-\frac{1}{2}{t^2}$；
②當(dāng)$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$≤t＜$5\sqrt{2}$時(shí)，如圖3所示：
$S=\frac{1}{2}B{Q^2}=\frac{1}{2}×{（{5\sqrt{2}-t}）^2}$=${t^2}-5\sqrt{2}t+25$；
③當(dāng)t≥$5\sqrt{2}$時(shí)，△PQE移出了△ABC，s=0．
綜上所述：△ABC和△PQE的重疊部分的面積為$\frac{25}{2}-\frac{1}{2}{t^2}$（0＜t＜$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$），或${t^2}-5\sqrt{2}t+25$（$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$≤t＜$5\sqrt{2}$），或0（t≥$5\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大．