Question

2．如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=OB=2，等腰直角△OCD的直角頂點O在原點，點C、D 分別在線段OA、OB上，且點D為線段OB的中點，將△OCD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到等腰直角△OC₁D₁，連結(jié)AC₁、BD₁，在旋轉(zhuǎn)過程中：
（1）求證：AC₁=BD₁；
（2）是否存在△OAC₁的面積與△OCD的面積相等？若存在，請求出對應(yīng)α的度數(shù)；若不存在，請說明理由；
（3）連接C₁C、D₁C，求∠C₁CD₁的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，△OCD≌△OC₁D₁，由全等三角形的性質(zhì)和等要直角三角形的性質(zhì)得，OC₁=OD₁=$OC=OD=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×2=1$，∠COC₁=∠DOD₁，
所以△AOC₁≌△BOD₁，利用全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；
（2）利用（1）中的結(jié)論，假設(shè)△OAC₁ 的面積等于△OCD的面積，得S_△BOD1=S_△OC1D1 ，得BC₁∥OD₁，由平行線的性質(zhì)得BC₁⊥OC₁，由直角三角形的性質(zhì)得C₁ D=BD=OD=$\frac{1}{2}OB$=$\frac{1}{2}×2$=1，故△ODC₁ 為等邊三角形，求得α；當(dāng)切點C₁ 在第二象限時，同理可得結(jié)論；
（3）由（2）得點C，D，C₁，D₁ 均在以O(shè)為圓心，OD長為半徑的圓O上，利用圓周角定理得∠C₁ CD₁=$\frac{1}{2}$∠C₁ OD₁=$\frac{1}{2}×90°$=45°．

解答 （1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△OCD≌△OC₁D₁，
∴OC₁=OD₁=$OC=OD=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×2=1$，∠AOC₁=∠BOD₁，
在△AOC₁ 和△BOD₁ 中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AO{C}_{1}=∠BO{D}_{1}}\\{O{C}_{1}=O{D}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△AOC₁≌△BOD₁，
∴AC₁=BD₁

（2）解：如圖1，由（1）得△AOC₁≌△BOD₁，△OCD≌△OC₁ D₁，
∴S_△AOC1=S_△BOD1，S_△OCD=S_△OC1D1，
假設(shè)△OAC₁ 的面積等于△OCD的面積，
∴S△AOC₁=S△BOD₁=S△OCD=S△OC₁ D₁，
當(dāng)S△BOD₁=S△OC₁ D₁，
∴BC₁∥OD₁，
在等要直角三角形OC₁ D₁ 中，∠C₁ OD₁=90°，
∴OC₁⊥OD₁，
∵BC₁∥OD₁，
∴BC₁⊥OC₁，
由（1）得OC₁=OD₁=OC=OD，
∴點C，D，C₁，D₁ 均在以O(shè)為圓心，OD長為半徑的圓O上，
∵BC₁⊥OC₁，
BC₁為⊙O的切線，切點為C₁，
∵過圓外B點與⊙O相切的直線有且只有2條，當(dāng)切點C₁ 在第一象限時，在直角△BC₁O中，D為斜邊OB的中點，連接DC₁，
C₁ D=BD=OD=$\frac{1}{2}OB$=$\frac{1}{2}×2$=1，
∴OD=DC₁=C₁ O=1，
∴△ODC₁ 為等邊三角形，
∴∠DOC₁=60°，
α=∠COD-∠DOC₁=90°-60°=30°，
如圖2，當(dāng)切點C₁ 在第二象限時，同理，
在Rt△BC₁O中，D為斜邊OB的中點，連接DC₁，
C₁ D=BD=OD=$\frac{1}{2}OB$=$\frac{1}{2}×2=1$，
∴OD=DC₁=C₁ O=1，
∴△ODC₁為等邊三角形，
∴∠DOC₁=60°，
α=∠COD+∠DOC₁=90°+60°=150°，
∴△OAC₁ 的面積等于△OCD的面積時，α=30°或α=150°；

（3）解：由（2）得點C，D，C₁，D₁ 均在以O(shè)為圓心，OD長為半徑的圓O上，
當(dāng)0°＜α＜180°時，
在⊙O中圓周角∠C₁CD₁ 對著劣弧C₁ D₁，
∴∠C₁ CD₁=$\frac{1}{2}$∠C₁ OD₁=$\frac{1}{2}×90°$=45°．

點評 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和等要直角三角形的性質(zhì)及判定，切線的性質(zhì)等，數(shù)形結(jié)合，分類討論，逆推法是解答此題的關(guān)鍵．