Question

7．如圖，在等邊△ABC中，已知AB=8cm，線段AM為BC邊上的中線．點(diǎn)N在線段AM上，且MN=3cm，動(dòng)點(diǎn)D在直線AM上運(yùn)動(dòng)，連接CD，△CBE是由△CAD旋轉(zhuǎn)得到的．以點(diǎn)C為圓心，以CN為半徑作⊙C與直線BE相交于點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)．
（1）填空：∠DCE=60度，CN=5cm，AM=4$\sqrt{3}$cm．
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出PQ的長（寫出計(jì)算過程）
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在MA的延長線上時(shí)，你認(rèn)為PQ的長度是多少？（寫出計(jì)算過程）
（4）當(dāng)點(diǎn)D在AM的延長線上時(shí)，你認(rèn)為PQ的長度是多少？（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC=∠ACB=60°，AC=BC=AB=8，AM⊥BC，CM=4，∠MAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得旋轉(zhuǎn)角為60°，則∠DCE=60°，然后根據(jù)勾股定理可分別計(jì)算出CN=5，AM=4$\sqrt{3}$；
（2）作CH⊥BE于點(diǎn)H，連結(jié)CQ，如圖1，根據(jù)垂徑定理得到PH=QH，由半徑相等得到CQ=CN=5，由于△CBE是由△CAD旋轉(zhuǎn)得到，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠CBE=∠CAD=30°，則在Rt△CBH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CH=$\frac{1}{2}$BC=4，然后在Rt△CHQ中利用勾股定理可計(jì)算出QH=3，從而得到PQ=2HQ=6；
（3）作CH⊥BE于點(diǎn)H，連結(jié)CQ，如圖2，先計(jì)算出∠DAC=180°-∠MAC=150°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CBE=∠CAD=150°，則∠CBQ=30°，然后與（2）一樣可計(jì)算出PQ=6；
（4）與（2）一樣可計(jì)算出PQ．

解答 解：（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AC=BC=AB=8，
∵AM為中線，
∴AM⊥BC，CM=4，∠MAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∵△CBE是由△CAD旋轉(zhuǎn)得到，
∴∠ACB等于旋轉(zhuǎn)角，即旋轉(zhuǎn)角為60°，
∴∠DCE=60°，
在Rt△MNC中，∵CM=4，MN=3，
∴CN=$\sqrt{C{M}^{2}+M{N}^{2}}$=5（cm），
在Rt△AMC中，∵CM=4，AC=8，
∴AM=$\sqrt{A{C}^{2}-C{M}^{2}}$=4$\sqrt{3}$（cm），
故答案為60，5，4$\sqrt{3}$；
（2）作CH⊥BE于點(diǎn)H，連結(jié)CQ，如圖1，則PH=QH，CQ=CN=5，
∵△CBE是由△CAD旋轉(zhuǎn)得到，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
在Rt△CBH中，∵∠CBH=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△CHQ中，∵CH=4，CQ=5，
∴QH=$\sqrt{C{Q}^{2}-C{H}^{2}}$=3，
∴PQ=2HQ=6；
（3）作CH⊥BE于點(diǎn)H，連結(jié)CQ，如圖2，則PH=QH，CQ=CN=5，
∠DAC=180°-∠MAC=150°，
∵△CBE是由△CAD旋轉(zhuǎn)得到，
∴∠CBE=∠CAD=150°，
∴∠CBQ=30°，
在Rt△CBH中，∵∠CBH=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△CHQ中，∵CH=4，CQ=5，
∴QH=$\sqrt{C{Q}^{2}-C{H}^{2}}$=3，
∴PQ=2HQ=6；
（4）當(dāng)點(diǎn)D在AM的延長線上時(shí)，∠CBE=∠CAM=30°，同理可得PQ=6．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會(huì)利用勾股定理計(jì)算線段的長．