Question

5．綜合與實(shí)踐：
折紙中的數(shù)學(xué)
動(dòng)手操作：
如圖，將矩形ABCD折疊，點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)B′處，折痕為GH，再將矩形ABCD折疊，點(diǎn)D落在B′H的延長線上，對應(yīng)點(diǎn)為D′，折痕為B′E，延長GH于點(diǎn)F，O為GE的中點(diǎn)．
數(shù)學(xué)思考：
（1）猜想：線段OB′與OD′的數(shù)量關(guān)系是OB′=OD′（不要求說理或證明）．
（2）求證：四邊形GFEB′為平行四邊形；
拓展探究：
 如圖2，將矩形ABCD折疊，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)B′，點(diǎn)D對應(yīng)點(diǎn)為D′，折痕分別為GH、EF，∠BHG=∠DEF，延長FD′交B′H于點(diǎn)P，O為GF的中點(diǎn)，試猜想B′O與OP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）作輔助線構(gòu)建平行四邊形和直角三角形，先證明平行四邊形，再利用直角三角形斜邊中線得OB′=OD′；
（2）利用折疊的性質(zhì)得∠GHB′=∠EB′H，得GF∥B′E，再利用折疊和矩形的直角得∠GB′H=∠B′D′E=90°，得GB′∥EF，則四邊形GFEB′為平行四邊形；
（3）作輔助線構(gòu)建平行，證角相等得△GB′O≌△FNO，再利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得結(jié)論

解答 解：（1）如圖1，OB′=OD′，理由是：
連接OF，
由折疊得：∠GB′H=∠B=90°，∠B′D′E=∠D=90°，
∴∠GB′H=∠B′D′E，
∴GB′∥EF，
同理得B′E∥GF，
∴四邊形GFEB′是平行四邊形，
∴OB′=OF，
則B′、O、F共線，
在Rt△B′D′F中，OD′=$\frac{1}{2}$B′F=OB′，
即OB′=OD′；
（2）如圖1，由折疊得：∠GHB=∠GHB′=$\frac{1}{2}$∠B′HB，
∠DB′E=∠D′B′E=$\frac{1}{2}$∠D′B′D，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，
∴∠B′HB=′DB′D′，
∴∠GHB′=∠EB′H，
∴GF∥B′E，
∵∠GB′H=∠B=90°，∠B′D′E=∠D=90°，
∴∠GB′H=∠B′D′E，
∴GB′∥EF，
∴四邊形GB′EF為平行四邊形；
拓展探究：
如圖2，OB′=OP，理由是：
延長HB′交AD于M，延長B′O交D′P于點(diǎn)N，
∠B′HB=2∠GHB，∠DED′=2∠DEF，∠GHB=∠DEF，
∴∠B′HB=∠DED′，
∵AD∥BC，∠DMH=∠B′HB，
∴∠DED′=∠DMH，
∴ED′∥MH，
∴∠B′PN=∠ED′F=90°，
∴∠GB′P=∠B′PN，
∴GB′∥PD′，
∴∠B′GO=∠NFO，
∵∠GOB′=∠FON，GO=OF，
∴△GB′O≌△FNO，
∴B′O=NO，
∴B′O=OP．

點(diǎn)評 本題是四邊形的綜合題，考查了矩形、平行四邊形和直角三角形的性質(zhì)，及三角形中位線的性質(zhì)和判定，對于三角形中位線的三個(gè)結(jié)論中，若有任意兩個(gè)結(jié)論則得另一結(jié)論；同時(shí)本題還要注意折疊性質(zhì)中邊和角的關(guān)系．