Question

8．如圖1所示，將一個(gè)邊長為2的正方形ABCD和一個(gè)長為2、寬為1的長方形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長方形ABEF．現(xiàn)將小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，旋轉(zhuǎn)角為α．
（1）當(dāng)點(diǎn)D′恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的值；
（2）如圖2，G為BC的中點(diǎn)，且0°＜α＜90°，求證：GD′=E′D；
（3）先將小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使△DCD′與△ACBD′全等（0°＜α＜180°），再將此時(shí)的小長方形CE′F′D′沿CD邊豎直向上平移t個(gè)單位，設(shè)移動(dòng)后小長方形邊直線F′E′與BC交于點(diǎn)H，若DH∥FC，求上述運(yùn)動(dòng)變換過程中α和t的值．

Answer 1

分析 （1）由長方形CEFD旋轉(zhuǎn)，得到CD′=CD，在由三角函數(shù)求出∠CD′E，即可；
（2）由長方形CEFD旋轉(zhuǎn)得到∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG判斷出△GCD′≌△E′CD即可；
（3）判斷出△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，即可．

解答 解：（1）∵長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，
∴CD′=CD=2，
在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，
∴∠CD′E=30°，
∵CD∥EF，
∴∠α=30°；
（2）證明：∵G為BC中點(diǎn)，
∴CG=1，
∴CG=CE，
∵長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△E′CD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD′=CD}\\{∠GCD′=∠DCE°}\\{CG=CE′}\end{array}\right.$
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′=E′D
（3）能．理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=CD，
∵CD′=CD′，
∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，
當(dāng)∠BCD′=∠DCD′時(shí)，△BCD′≌△DCD′，
當(dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角α=$\frac{360°-90°}{2}$=135°，
當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時(shí)，∠BCD′=∠DCD′=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°
則α=360°-$\frac{90°}{2}$=315°，
即旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°時(shí)，△BCD′與△DCD′全等．

點(diǎn)評 此題是幾何變換的綜合題，主要考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由性質(zhì)得出結(jié)論是解本題的關(guān)鍵．